STRONA GŁÓWNA
INFORMACJE O SZKOLE
PRZETARGI
REKRUTACJA
DLA MATURZYSTÓW
DLA UCZNIÓW
PLAN LEKCJI
NAUCZYCIELE
SPORT
RELIGIA
GRAFIKA
OLIMPIADY
KONKURSY
J.ANGIELSKI
BIBLIOTEKA
PEDAGOG
UNIA EUROPEJSKA
KRONIKA SZKOŁY
KOŁO WYCHOWANKÓW
DARCZYŃCY
LINKI
KSIĘGA GOŚCI
Skrypt opracował Cezary Szok
wrzesień 2007
SYSTEMY LICZBOWE
Mamy 4 rodzaje systemów liczbowych:
-
system binarny (dwójkowy)
-
system dziesiętny
-
system oktalny (ósemkowy)
-
system heksadecymalny (szesnastkowy)
Jeżeli już opanowałeś ten materiał, możesz sprawdzić swoje wiadomości, rozwiązując test:
Charakterystyka systemów liczbowych:
1. SYSTEM BINARNY
System binarny, zwany również dwójkowym to system liczb składający się z cyfr 0 i 1 (stąd nazwa dwójkowy).
Przeliczanie sytemu binarnego na dziesiętny :
Przykład : 10011001
2
= 1*2
7
+ 0*2
6
+ 0*2
5
+ 1*2
4
+ 1*2
3
+ 0*2
2
+ 0*2
1
+ 1*2
0
= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 =
153
10
Przeliczanie liczby systemu dziesiętnego zawierającego ułamek na system dziesiętny:
Przykład: 101,011
2
= 1*2
2
+ 0*2
1
+ 1*2
0
+ 0*2
-1
+ 1*2
-2
+ 1*2
-3
= 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 + 1/8 = 5 + 3/8 =
5,375
10
Przeliczanie systemy binarnego na oktalny (ósemkowy):
System binarny
System oktalny
000
2
0
8
001
2
1
8
010
2
2
8
011
2
3
8
100
2
4
8
101
2
5
8
110
2
6
8
111
2
7
8
Nawiązując do danych z tabeli wykonujemy następujący przykład:
10110011
2
= 010 110 011 =
263
8
2 6 3
Przeliczanie systemu binarnego na heksadecymalny (szesnastkowy):
System binarny
System heksadecymalny
0000
2
0
16
0001
2
1
16
0010
2
2
16
0011
2
3
16
0100
2
4
16
0101
2
5
16
0110
2
6
16
0111
2
7
16
1000
2
8
16
1001
2
9
16
1010
2
A
16
1011
2
B
16
1100
2
C
16
1101
2
D
16
1110
2
E
16
1111
2
F
16
Nawiązując do danych z tabeli wykonujemy następujący przykład:
10110011
2
= 1011 0011 =
B3
16
B 3
UWAGA!!!!
Gdy podczas przeliczania systemu dwójkowego na oktalny lub heksadecymalny nasza liczba nie dzieli się równo na trójki bądź czwórki, wtedy z przodu dopisujemy 0. Trzeba również zapamiętać, że liczbę zaczynamy rozpisywać od końca
Przykład:
1011010110
2
= 0010 1101 0110 =
2D6
16
11001
2
= 011 001 =
31
8
2. SYSTEM DZIESIĘTNY
W systemie dziesiętnym używamy liczb z przedziału 0-9. Przeliczanie systemu dziesiętnego na pozostałe systemy różni się znacznie od poprzednio zaprezentowanego sposobu.
Przeliczanie liczby dziesiętnej o wartości 283
10
na system binarny:
Nr kroku
Działanie
Część całkowita
Reszta
1
283:2
141
1
2
141:2
70
1
3
70:2
35
0
4
35:2
17
1
5
17:2
8
1
6
8:2
4
0
7
4:2
2
0
8
2:2
1
0
9
1:2
0
1
Nasza liczba w przeliczeniu na system dziesiętny znajduje się w kolumnie "Reszta".
Należy pamięać, że liczbę tę zapisujemy od końca (od dołu) tabeli.
Wynik przedstawia się następująco:
283
10
=100011011
2
Przeliczanie systemu dziesiętnego na oktalny i heksadecymalny
Przeliczając system dziesiętny na oktalny lub heksadecymalny, wykonujemy takie same czynności jak podczas przeliczania na system binarny z taką tylko różnicą, że dzielimy przez
8
.
1 Przykład :
Konwertujemy liczbę 233
10
Nr kroku
Działanie
Część całkowita
Reszta
1
233:8
29
1
2
29:8
3
5
3
3:8
0
3
233
10
= 351
8
2 Przykład :
Konwertujemy liczbę 233
16
Nr kroku
Działanie
Część całkowita
Reszta
1
233:16
13
0
2
13:16
0
D (D=13)
233
10
= D0
16
Zamiana ułamka z systemu dziesiętnego na binarny.
Przykład:
Nr kroku
Działanie
Iloczyn
Część ułamkowa
Część całkowita
1
0,625*2
1,25
0,25
1
2
0,25*2
0,50
0,50
0
3
0,5*2
1,00
0,00
1
0,625
10
= 0,101
2
Zamiana ułamka z systemu dziesiętnego na ósemkowy.
Przykład:
Nr kroku
Działanie
Iloczyn
Część ułamkowa
Część całkowita
1
0,2*8
1,6
0,6
1
2
0,6*8
4,8
0,8
4
3
0,8*8
6,4
0,4
6
4
0,4*8
3,2
0,2
3
5
0,2*8
1,6
0,6
1
6
0,6*8
4,8
0,8
4
7
0,8*8
6,4
0,4
6
8
0,4*8
3,2
0,2
3
0,2
10
= 0,(1463)
8
3.SYSTEM OKTALNY
System oktalny, zwany ósemkowym to system liczbowy składający się z liczb 0-8.
Przeliczanie systemu oktalnego na dziesiętny jest takie same jak z dziesiętnego na oktalny (patrz Tabela nr.1).
Przykład:
245
8
= 010 100 101 = 010100101
2
Zamieniając system oktalny na heksadecymalny (szesnastkowy) wykonujemy następujące czynności :
- zamieniamy liczbę na system binarny (Tabela nr.1)
- zamieniamy otrzymaną liczbę binarną na system heksadecymalny (Tabela nr.2)
Przykład:
2354
8
= 010011101100
2
= 4EC
16
Zamiana systemu oktalnego na system dziesiętny różni się od poprzednich metod i prezentuje się następująco:
245
8
= 2*8
2
+ 4*8
1
+ 5*8
0
= 128
10
+ 32
10
+ 5
10
= 165
10
4.SYSTEM HEKSADECYMALNY
System heksadecymalny, zwany również szesnastkowym, to system, w skład którego wchodzą liczby z przedziału 0-9 oraz A-F. Litery A-F są odpowiednikami liczb z przedziału 10-15, co pokazuję poniższa tabelka
Nr liczby
System heksadecymalny
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
Przeliczanie systemu heksadecymalnego na binarny (patrz Tabela nr.1):
B3
16
= 1011 0011 = 10110011
2
Przeliczanie systemu heksadecymalnego na dziesiętny:
B3
16
= B*16
1
+ 3*16
0
= 11*16
1
+ 3*16
0
= 179
10
Zamieniając system heksadecymalny (szesnastkowy) na oktalny wykonujemy następujące czynności :
- zamieniamy liczbę na system binarny (Tabela nr.2)
- zamieniamy otrzymaną liczbę binarną na system oktalny (Tabela nr.1)
Przykład:
4A6
16
= 010010100110
2
= 2246
8
Liceum Ogólnokształcące im. Mikołaja Kopernika, ul. Kościuszki 36, 07-300 Ostrów Mazowiecka
tel. 029 74 537 53, kontakt:
lo@koperniczek.net
